INTRODUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES EN PRIMARIA:

APRENDIENDO FRACCIONES a partir de los materiales manipulativos

 

1-LA ACCIÓN DOCENTE

1.A El concepto de fracción y la práctica educativa

La práctica educativa de los docentes puede resultar deficiente  si no han construido el concepto de fracción. Los maestros deben propiciar que los alumnos adquieran los referentes necesarios para poder dar soluciones a problemáticas de manera inmediata. Pero si desconocen los diferentes significados que la estructura matemática puede adquirir, no plantearán las situaciones didácticas precisas. En el caso de la fracción, los significados son cuatro: como medida, como cociente, como razón y como operador multiplicativo.

Significados o subconceptos Contexto Representaciones-modelos
Medida (parte-todo) Continuos                                                 discretos                                             decimales Diagramas rectangulares o circulares, subconjuntos, recta numérica
Cociente División indicada  (reparto)                  elemento de estructura algebraica Regiones o segmentos, línea numérica, tablas
Razón  (todo-todo) Probabilidades                                  porcentajes                      probabilidades Escalas de dibujos y mapas, comparaciones bidimensionales entre polígonos, diagramas de barras o sectoriales
Operador Acción a realizar (operador)   situación Máquina operadora

 Los conceptos se construyen mediante la utilización de la estructura en diferentes situaciones o problemas, sin embargo, algunos docentes  no logran utilizar  la fracción en los significados – subconceptos - de  razón y operador multiplicativo, los más complejos de aplicar en Primaria. Las deficiencias en  el conocimiento de algunos docentes en relación con la fracción  repercuten en los alumnos que éstos atienden:

-Los alumnos no podrán familiarizarse con los diferentes significados si el propio docente no los conoce

-La evaluación será deficiente, ya que no pueden evaluar algo que no conocen

- Los conceptos que los alumnos construyan serán incompletos

1.B  Competencia docente en didáctica de las matemáticas

Considerando la didáctica como el conjunto de relaciones que vinculan tres vértices  (maestro ― alumnos ― saber) debemos analizar si  los docentes  logran hacer esta triangulación eficientemente en relación con la estructura fraccionaria. La teoría de los campos conceptuales resulta interesante en este caso para  concebir que una estructura matemática puede adquirir diferentes significados según el uso y contexto en que se apliquen. El análisis de las situaciones en las que se utilizan las fracciones lleva a identificar distintos significados de esta noción. Cada uno de estos significados es propicio para abordar ciertos aspectos de la fracción, por ejemplo, las situaciones en las que la fracción expresa una cantidad son adecuadas para abordar la suma de fracciones pero no la multiplicación de una fracción por otra. En cambio, las situaciones en las que la fracción indica una transformación multiplicativa, son adecuadas para abordar la multiplicación, pero no la suma.  La habilidad de los alumnos para resolver problemas está influida por el contexto en que se presentan.

Matemáticamente, existe una secuencia de estructuras, dentro de la que se avanza de la más sencilla a la más compleja y unas dan base a otras; por lo que si no se comprende una estructura que dé base a otra más compleja, tampoco se comprenderá ésta. Si el docente no conoce que existe un proceso de construcción de la estructura fraccionaria no detectará la etapa del proceso en que cada alumno se encuentra. Los maestros deben conocer, prever y comprender algunos errores frecuentes que cometen los niños al trabajar con las fracciones. La simple práctica repetitiva no servirá para subsanar estos errores. Por esta razón, el trabajo de contextualizar a las fracciones es uno de los retos que plantea el estudio de esta noción. Es necesario diseñar situaciones en las que las fracciones, sus relaciones y operaciones cobren sentido como herramientas útiles para resolver determinados problemas.

Las fracciones en primaria  deben  vistas como números no solamente  como porciones de unidades, se debe transferir el concepto de fracción al concepto de  número racional. La comprensión del sentido de los números racionales implica la construcción de los diferentes significados que puede tener una fracción - y los problemas que se generan con ellos-.

Se deben proponer cambios de las estrategias en el planteamiento de situaciones didácticas.  Lo anterior debe hacerse desde la formación y actualización docente que proporcione conocimientos conceptuales, de los procesos y actitudinales. Conceptuales  para ampliar los conocimientos en cuanto a la fracción como estructura matemática; de los procesos que permitan el reconocimiento de algunas situaciones que implican la fracción como operador multiplicativo y como razón; y de tipo actitudinal, en cuanto a las actitudes y comportamientos profesionales.

 

1.C  Errores más frecuentes y  las dificultades de aprendizaje no verbales

Noción

Errores

Comentario

Equivalencia de fracciones

2/5=8/11=14/17                             2/6=1/3  4/6=2/3

Modelo aditivo (+6) en numerador y denominador

Suma y resta

½+3/5=4/7 4/5+2/6=6/11                2/3-1/6=2/6-1/6=1/6

Suma independiente de numeradores y denominadores             Halla el común denominador pero no modifica numeradores

Multiplicación y división

3/5x1/2=6/10x5/10=30/10    2/6:1/2=2/2   

Mezcla algoritmos + (común denominador) con x   dividen separadamente numeradores y denominadores

Características de los alumnos con DANV: Débil procesamiento simultaneo de información espacio-visual. Dificultades de interpretación, organización o trabajos que precisen información espacial, como mapas, diagramas gráficos o cartas completas, música y matemáticas. Pobre esquema espacial y organización visual para el dibujo y material organizado espacialmente en una página.

1.D Evaluación

Otro aspecto determinante de la práctica educativa es el relacionado con la evaluación. El proceso de enseñanza y de aprendizaje debe caracterizarse por una evaluación continua no fijarse solamente en los resultados finales  con la evaluación. Si el conocimiento que el docente tiene en relación con la fracción es pobre la evaluación también lo será, ya que no se puede evaluar algo que no se conoce.

El hecho de que los conceptos de las estructuras matemáticas estén incompletos, repercutirá en el futuro educativo de los alumnos. Hay que valorar si al enfrentarse a situaciones que impliquen la fracción como operador y como razón, los alumnos utilizan otras estructuras matemáticas mejor comprendidas o conocidas que la fraccionaria, como puede ser la sustracción o la división.

2-LOS MATERIALES MANIPULATIVOS COMO PRIMER RECURSO

2A – Comenzar con los materiales manipulativos

La tendencia de introducir prematuramente el lenguaje simbólico de las fracciones, tiene como consecuencia que los niños no logren apropiarse de los significados de esta noción. Podemos prevenir el fracaso de los alumnos para conectar el conocimiento informal y el conocimiento formas de los símbolos, los procedimientos y representaciones en imágenes partiendo de las actividades con materiales manipulativos.

2B – Actividades con regletas

Representación de fracciones, suma y resta de fracciones con el mismo denominador
Representación y comparación de  fracciones, fracciones equivalentes, suma y resta
Multiplicación y división, m.c.m.(común denominador) para sumas y restas

2C- Actividades con geoplanos

Representación de  fracciones como partes iguales de una figura geométrica
Representación de fracciones equivalentes
Comparaciones bidimensionales entre polígonos (contesto “razón”)

 

2D- Actividades con tangram

Comparación Tg-Tm-Tp
Medir con fracciones la superficie de cada pieza respecto al tangrama cuadrado
Relaciones entre las piezas (contexto “razón”)

 

2E- Actividades con multicubos

Representación de fracciones
Suma y resta de fracciones, fracciones equivalentes
Representación fracciones en tres dimensiones

 

2F- Plegado de papel

Representación de fracciones
Formar fracciones equivalentes
Operaciones con fracciones

 

 3-CORRESPONDENCIA DE LOS MATERIALES MANIPULATIVOS CON LOS MODELOS  GRÁFICOS SOBRE FRACCIONES  DE LOS LIBROS DE TEXTO EN 5º DE PRIMARIA

contenidos Edelvives SM Edebé Santillana Materiales manipulativos
Representación Áreas polígonos Áreas polígonos Área octógono diagramas rectangulares Diagramas rectangulares y circulares Geoplanos, multicubos, regletas, plegado de papel
Comparación Diagramas rectangulares Diagramas rectangulares y circulares Diagramas rectangulares y circulares, recta numérica Diagramas circulares Tangram, geoplanos, regletas
fracciones equivalentes Diagramas rectangulares Diagramas rectangulares y circulares Diagramas rectangulares Diagramas rectangulares Regletas, plegado de papel, geoplanos, tangram
Suma y resta Diagramas rectangulares Diagramas rectangulares Diagramas circulares Diagramas rectangulares y circulares Regletas, multicubos
Porcentajes*       Cuadrícula 10x10 Geoplano ortométrico

* Los porcentajes se trabajan en libro de texto de 6º en la mayoría de las editoriales.

4-CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

- Tenemos que partir de las actividades con materiales manipulativos   (geoplanos, regletas, tangram, polydrón, multicubos, ….. ) .

- Las situaciones-problema se deberán presentar al principio en el contexto de la vida real haciendo posible la aplicación de relaciones todo-parte. Al iniciar el uso de las fracciones como razón nos basaremos en comparaciones entre dos dimensiones (relación entre polígonos), en este aspecto las actividades con el tangram aportan interesantes soluciones.

- Es necesario apoyar las estrategias numéricas en la resolución de problemas con estrategias visuales que abarquen una amplia gama de modelos gráficos (recta numérica, áreas de polígonos, diagramas rectangulares y circulares. cuadrículas, tablas, tramas ortométricas e isométricas…).

- Los modelos gráficos ofrecidos por los libros de texto son insuficientes y meramente pasivos para el alumno. Necesitamos ofrecer actividades complementarias en este sentido. La representación gráfica  de las actividades realizadas con materiales manipulativos en el taller de matemáticas  a partir de 4º es la alternativa más acertada. De esta manera participan activamente en la construcción de modelos al transferir las actividades manipulativas a la representación gráfica en su cuaderno de matemáticas.

- Tenemos que potenciar una visión global del concepto de fracción que abarque todos los significados  o subconceptos cuidando especialmente los de operador y razón por las dificultades que conllevan.  Nuestros alumnos han construido operadores a través de los juegos con bloques lógicos en el primer ciclo. Estas experiencias pueden servir de base para presentar el contexto “operador”.

- Se irán integrando poco a poco los distintos modos de enfrentarse a los planteamientos de los problemas. La manipulación, la representación de imágenes, la verbal, la aplicada al mundo real y la  simbólica deben presentarse como variaciones de un mismo problema.

- El aprendizaje de los números racionales se basará en la generalización y transferencia de los  conceptos y procedimientos  asimilados sobre los números naturales (propiedades de la suma, resta, multiplicación y división).

- Debe contemplarse a largo plazo porque algunos contextos no se trabajan en Primaria (la fracción como cociente en estructuras algebraicas). Los alumnos terminarán de madurar el concepto de número racional en todos sus significados y contextos en el primer ciclo de  ESO.

- Tenemos que estimular el desarrollo de estrategias de cálculo mental en la suma, resta, multiplicación y división de fracciones “familiares” para los niños (cuartos, tercios, medios, quintos) de las que tienen construida una imagen mental. En este sentido consideramos imprescindibles las actividades con las regletas.

-Estudiaremos y planificaremos con atención la secuenciación del aprendizaje de los algoritmos en las operaciones con fracciones para  bajo rendimiento en la práctica de los algoritmos y su desvinculación de las situaciones problemáticas. 

BIBLIOGRAFÍA.

M Alcalá “Fracciones” Escuela Popular  Granada 1986

Álvarez Icaza, Ana María,  “Estudio exploratorio sobre fracciones comunes II: conceptos y estrategias de solución de problemas y operaciones en niños de primaria”, Subsecretaría de Servicios Educativos para el D.F, SEP, México, 1994.

Beher, Merlín y Leser, Thomas. “Ideas de los números racionales y el rol de los sistemas representativos”, en Trabajos sobre la enseñanza de las fracciones. Matemática Educativa, I.P.N. México, 1983

Centeno, J. “ Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué?”  Madrid, Síntesis  1988

Z. P. Dienes “Fracciones” Teide. Barcelona 1972

C. Gategno “Aritmética con números en color. Volumen V. Fracciones ordinarias y decimales.” Cuisinaire de España Madrid 1967

S. Linares y M. V. Sánchez “Fracciones”  Síntesis  Madrid 1988

A López Cantero “¿Por qué y cómo enseñar fracciones?” Cuadernos de Pedagogía nº 148 Barcelona 1985

 Mancera, E. , "Significados y significantes relativos a las fracciones", en Educación matemática,  vol. 4, núm. 2,         pp. 30-54.  México.1992

PÁGINAS WEB

Comunidad escolar. http://www.pntic.mec.es/cescol
Educanet. http://www.hys.com.pe/educanet
Educaweb. http://www.educaweb.com/cat/
Eduso. http://www.eduso.net/
Maestroteca. http://maestroteca.com/
Red escolar. http://redescolar.ilce.edu.mx/
Arrakis. http://arrakis.es/~~mapelo/
Prismas educativos. http://prismaseducativos.com.ar
Pananet. http://www.pananet.com/educacion/
3i. Recursos educativos. http://www.3ieduca.com
http://www.yahoo.com/Education/k_12
Web for schools. http://wfs.eun.org/
Espiral, educación y nuevas tecnologías.
http://www.pangea.org/org/espiral

http://www.profer.be/crem

José M Yáñez Sinovas

 

                                    PROPORCIONALIDAD

             José M Yáñez Sinovas           CEIP Vicente Aleixandre de Valladolid

 

1. CONSIDERACIONES PREVIAS

- La igualdad de dos razones equivalentes  a/b = c/d. Entendiendo como razón de dos números a y b  la notación a/b. Se puede representar con la expresión aritméticamente equivalente ad = bc

- Magnitudes directamente proporcionales: al aumentar o disminuir una aumenta o disminuye la otra proporcionalmente (lado del cuadrado y su área, cantidad de un producto y su precio, velocidad de un vehículo y espacio que recorre, longitud de la circunferencia y el radio, el perímetro de un cuadrado y su lado, el volumen de agua y su masa, …)

Algunas de las situaciones más apropiadas para la utilización del concepto matemático de proporcionalidad  serán el cálculo de porcentajes, intereses y mapas a escala.

- Proporcionalidad en el arte: dupla, áurea, …(1:1,618 –número fi-es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.), relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste.  Segmentos  a + b  /a  =   a / b Encontramos rectángulos áureos en el DNI, en las tarjetas de crédito,…Proporción cordobesa (radio circunferencia / lado octógono inscrito, número cordobés = 1,3065..), número de plata o número plástico (1+ raíz cuadrada de 2   = 1,3247  ), número de bronce (3 + raíz cuadrada

de 13 /   2),…

 

- En geometría: el número pi (longitud circunferencia/diámetro), proporcionalidad de segmentos (teorema de Thales), relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras), proporcionalidad lados/perímetros/área entre figuras geométricas semejantes, …

 

- En geografía: densidad de población, escalas de los mapas: escala = razón de semejanza

 

- Los porcentajes están presentes en muchas situaciones cotidianas relacionadas con las compras, informaciones en la prensa, operaciones bancarias,  … Sin embargo en Primaria se suele dedicar muy poco tiempo a los porcentajes, mucho menos que a las fracciones y a los decimales. Proporcionan un contexto adecuado para tratar las relaciones entre las fracciones y los decimales (12/100 =12% = 0,12 para calcular el IVA de algunos productos).

Otros conceptos como las probabilidades de un suceso y las potencias se ven reforzados en su comprensión al trabajar los porcentajes.

Si no se puede aumentar el tiempo dedicado a los porcentajes debemos buscar una alternativa válida. La solución más viable será abordarles de otra manera e iniciarles antes. En la actualidad  los porcentajes se trabajan generalmente en 6º cuando las fracciones y los decimales se han iniciado en 4º y 5º respectivamente. Si se vieran a la vez desde 5º resultaría más rentable pues se reforzarían los tres conceptos

En cuanto a la manera de trabajarlos nos centraremos en los contextos y casos de la vida diaria donde están presentes así como los recursos más idóneos.

En cuanto al significado matemático partimos del concepto de razón, el porcentaje será un caso particular de razón cuyo cuando el término inferior es cien.

 

 

2. LIBROS DE TEXTO

 

Edelvives 6º Proyecto Alavista: Tema 11 “Razón y proporcionalidad”  Introduce el concepto de razón como cociente de dos cantidades en la misma clase de unidades. Define la proporción como igualdad de razones y trabaja la propiedad de que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Trata también las magnitudes proporcionales (cuyas cantidades correspondientes forman una proporción). Añade el estudio del porcentaje en la segunda parte del tema como un caso particular de proporciones. Trata el tanto por ciento de una cantidad, el cálculo del porcentaje, incrementos y descuentos. En el tema 14 – Mapas y planos - se estudia la escala.

 

 

SM 6º dedica un tema a porcentajes y proporciones. Al contrario que Edelvives parte del estudio del porcentaje y después analiza la proporcionalidad centrándose en las series de números proporcionales, cálculo de cantidades proporcionales y terminando con las escalas como concepto asociado. SM  6º inicia el concepto de % a partir de la fracción con denominador 100. Pasa después al cálculo de porcentajes, descuentos e incrementos. Respecto a la proporcionalidad trata las series de números proporcionales, el cálculo de cantidades proporcionales y la escala.

 

Anaya 6º al igual que SM inicia el estudio del porcentaje a partir de un caso particular de fracción con denominador 100, profundiza en el cálculo de porcentajes pero no lo asocia al concepto de proporciones.

 

 3. MATERIALES Y RECURSOS

 

a) Juegos de mesa

- Colección de rectángulos semejantes (20x16, 10x8 –familia 4/5; 15x8, 10x6 –familia 3/5-; 24x15, 16x10 –familia 5/8-, 4x6, 6x9 –familia 2/3-)

- Baraja proporciones (dupla, áurea, de plata, cordobesa, …) y números notables (pi, phi, cordobés,..)

-Dominós con porcentajes, fracciones y decimales

-Barajas  con cartas de fracciones, decimales,  porcentajes y representaciones geométricas (subáreas de una superficie en forma circular o rectangular)

 

b) Materiales manipulativos

-Geoplanos (utilizando los tres tipos: circular, ortométrico e isométrico para representar pocentajes)

-Regletas

-Bloques base 10 Dienes

-Plegado de papel (Dividiendo un cuadrado o un rectángulo en partes iguales ¿Qué % representan?)

-Tangram ¿Qué % de la superficie total de un cuadrado construido con las siete piezas representa cada figura?,  relaciones entre los triángulos de figuras semejantes (perímetro, áreas, lados,…)

-  Geotiras sobre hoja de papel milimetrado con dos ejes de 18 cm y un segmento que será el eje de los %

-  Reglas graduadas para calcular escalas

- Plegado de papel dinA4 convertir en dinA5 y dinA6 --- valor razón lado mayor/lado menor

- Diferentes periódicos para calcular valor razón lado mayor/lado menor

 

c) La calculadora

La utilizaremos en situaciones lúdicas junto a los dominós y barajas  o en resolución de problemas  para calcular el porcentaje de cualquier cantidad, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje determinado, una tasa de variación, una cantidad que al disminuirla en un porcentaje resulte una cantidad dada de antemano.

 

 

d) El periódico

 

- Descuentos en rebajas

- Beneficios de los comerciantes

- Porcentaje que se aplica de impuesto del valor añadido según artículos

- Medida de las pendientes de subida y bajada  (distancia recorrida: diferencia de altitud entre el inicio y la llegada)

- Las pendientes en los puertos de la Vuelta a España (problemas)

      - Distribución de la riqueza países desarrollados/tercer mundo

      - Porcentajes en la emisión de gases efecto invernadero por países, zonas

- Trabajar con artículos de prensa de las secciones de economía, cultura,…

- ¿Qué parte de la página está dedicada a publicidad? (plegando hoja)

    - Analizar a partir de noticias deportivas que criterios se usan según las diferentes clasificaciones (tiempo jugado, tiros de dos, triples, tiros libres, asistencias, rebotes, …)

 

e) Recursos en internet

http://math.rice.edu/%7Elanius/proportions/index.html

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/porcentajes/index.html

 

 

4. CONCLUSIONES

 

- Iniciar el concepto trabajando la proporcionalidad a partir de nociones geométricas (relación lado/lado en rectángulos semejantes, en familia de triángulos,…) y metodología experimental

- Partir de los descubrimientos a través de la manipulación de material

- Tomando como base la expresión  igualdad de razones a/b = c/d debemos iniciar las compensaciones multiplicativas  ad = cb

- Estudiar las expresiones usuales de la proporcionalidad (porcentaje, interés simple, escala, repartición proporcional, etc.) relacionándolas para reforzar los conceptos.

 

 

 

                                     NÚMEROS DECIMALES

 

  1. Consideraciones previas: UTILIDAD Y SIGNIFICADO

 

Podemos abordar el trabajo con los decimales desde diversos contextos:

- A partir de la medida como manera de escribir en forma simple cantidades complejas (Un euro y cincuenta céntimos= 1,50,  dos kilómetros y trescientos quince metros= 2,315 km, …)

- Como extensión de los números naturales que resultan insuficientes (¿cómo expresar las cantidades menores que 1?,…) para resolver algunos problemas

- A partir de las fracciones decimales (1/10= 0,1,…) como otra forma de escribirlas

- Desde una perpectiva histórica:  con el sistema de numeración posicional indoarábigo (Al-Uglidisi –Damasco, Años 952), redescubrimiento durante el renacimiento (F Viète  y S Stevin -1585), notación actual (Jhon Napier, 1620), establecimiento del sistema métrico decimal (Francia en 1793, resto Europa s, XIX)

- Desde un punto de vista geométrico: como puntos en  la recta numérica en los espacios entre los números enteros

 

Sería conveniente comenzar elaborando con los alumnos una lista de situaciones de la vida cotidiana donde se usen los números decimales para que se vean motivados por su utilidad.

 

     

  1. MATERIALES

 

- Regletas

- Bloques base 10

- Ábacos

- Calculadora

- Dominós de decimales y fracciones

- Barajas de fracciones y decimales

 

  1. LOS DECIMALES EN LOS LIBROS DE TEXTO

     

    Tanto SM 6º como Edelvives Alavista 6º y Anaya 6º tratan los números decimales en dos temas diferenciados. Uno dedicado a los aspectos conceptuales y a las operaciones de suma y resta (más la multiplicación en Edelvives) y otro para la multiplicación y división (solamente la división en Edelvives).  No existen diferencias significativas en el planteamiento de las tres editoriales que trabajan todas aspectos como la comparación y ordenación, aproximación o redondeo, la descomposición, las  propiedades y el cálculo de las operaciones.

 

  1. ERRORES Y DIFICULTADES DE APRENDIZAJE

 

      - Relacionados con el valor de posición: errores en la lectura y escritura

      - En la ordenación de mayor a menor, de menor a mayor

      - En el cálculo escrito

      - En el cálculo mental

     

 

 

  1. CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

 

- En el proceso de aprendizaje de los números decimales conviene en primer lugar centrarse en los decimales como medida para pasar después a las aplicaciones

- Se presentarán en principio como una escritura de fracciones decimales

- Resultan imprescindibles los ejercicios de descomposición de los números decimales para prevenir y superar las dificultades con el valor de posición

- Las actividades de ordenación y comparación serán más eficaces si se apoyan en las realizadas con fracciones

- Los algoritmos y la mecanización de los mismos deben venir después de haber construido el significado de las operaciones. Tenemos que tener en cuenta las situaciones didácticas que permiten dar significado a las operaciones (el producto: porcentajes, escalas, calcular el área de un rectángulo,…)

- Se deberán reforzar el análisis de las propiedades de las operaciones ya trabajadas con los números naturales antes de plantear las propiedades específicas de la división con números decimales (si el cociente es mayor o menor que 1)

 

6. RECURSOS EN INTERNET

 

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/decimales/index.html